边界条件

位移边界条件

位移边界条件中,物体在全部边界上的位移分量是已知的,即:${u_s} = \bar u,{v_s} = \bar v$

当边界为固定边界时,边界上的位移分量为零,使用${S_u}$来表示位移边界位置.

1. 位移边界约束条件是一个函数方程,要求在${S_u}$上每一点的位移与对应的约束位移相等
2. 若为简单的固定边,$\overline u = \overline v = 0$,则有${(u)_s} = 0,{(v)_s} = 0$

应力边界条件

将应力平衡状态移动到边界上,使斜面与边界重合,得到:

$$\left. \begin{array}{l} {(l{\sigma _x} + m{\tau _{yx}})_s} = \overline (s)\\ {(m{\sigma _y} + l{\tau _{xy}})_s} = \overline (s) \end{array} \right\}$$

1. 是边界上微分体的静力平衡条件
2. 是函数方程,要求在边界上每一点s上均满足,这是精确的条件
3. 在应力边界条件中,应力和面力的符号按弹性力学规定.
4. 位移应力边界条件有两个分量,分别表示x,y的边界条件
5. 所有边界均满足,无面力的边界(自由边)$\overline = \overline = 0$

圣维南原理

原理表述(局部效应原理):如果把物体的一小部分边界上的面力,变换为分布不同但静力等效的面力(主矢量相同,对同一点的主矩也相同).那么近处的应力分量将有显著的改变,远处所受的影响可忽略不计.

1. 只能用于一小部分边界(小边界,次要边界或局部边界)
2. 静力等效☞主矢相同,对同一点的主矩也相同
3. 近处☞面力变换范围的一、二倍的局部区域
4. 远处☞近处之外的部分

选取长度为l的边界

应力边界条件的原表述：$\left. \begin{array}{l} {\sigma _s}(x,y){|_{x = l}} = \overline {{f_x}} (y)\\ {\tau _{xy}}(x,y){|_{x = l}} = \overline {{f_y}} (y) \end{array} \right\}$ 根据原理改写成积分边界条件： $$ \int_{ - h/2}^{h/2} {{{({\sigma _x})}_{x = \pm l}}dy*1 = \pm } \int_{ - h/2}^{h/2} {\overline {{f_x}} (y)*1( = {F_N})}\\ \begin{array}{l} \int_{ - h/2}^{h/2} {{{({\sigma _x})}_{x = \pm l}}dy*1*y = \pm } \int_{ - h/2}^{h/2} {\overline {{f_x}} (y)*1*y( = M)} \\ \int_{ - h/2}^{h/2} {{{({\tau _x})}_{x = \pm l}}dy*1 = \pm } \int_{ - h/2}^{h/2} {\overline {{f_y}} (y)*1( = {F_s})} \end{array} $$

求解平面问题

弹性力学的基本方程:
$$ \begin{array}{l} \frac{{\partial {\sigma _x}}}{{\partial x}} + \frac{{\partial {\tau _{yx}}}}{{\partial y}} + {f_x} = 0\\ \frac{{\partial {\sigma _y}}}{{\partial y}} + \frac{{\partial {\tau _{xy}}}}{{\partial x}} + {f_y} = 0\\ {\varepsilon _x} = \frac{{\partial u}}{{\partial x}},{\varepsilon _y} = \frac{{\partial v}}{{\partial y}}\\ {\gamma _{xy}} = \frac{{\partial u}}{{\partial y}} + \frac{{\partial v}}{{\partial x}}\\ {\varepsilon _x} = \frac{1}{E}({\sigma _x} - \mu {\sigma _y})\\ {\varepsilon _x} = \frac{1}{E}({\sigma _y} - \mu {\sigma _x})\\ {\gamma _{xy}} = \frac{{1(1 + \mu )}}{E}{\tau _{xy}}\\ {(l{\sigma _x} + m{\tau _{yx}})_s} = \overline {{f_x}} \\ {(m{\sigma _y} + l{\tau _{xy}})_s} = \overline {{f_y}} \\ {(u)_s} = \overline u \\ {(v)_s} = \overline v \end{array} $$ 可得到八个未知函数:$({\sigma _x},{\sigma _y},{\tau _{xy}},{\varepsilon _x},{\varepsilon _y},{\gamma _{xy}},u,v)$

解法-消元法

按位移求解(位移法)☞取$u,v$为基本未知函数,从方程和边界条件中消去应变和应力,导出只$u,v$的方程和边界条件,从而求出$u,v$;再求应变和应力.

按应力求解(应力法)☞取${\sigma _x},{\sigma _y},{\tau _{xy}}$为基本未知函数,从方程和边界条件中消去位移和应变,导出只含应力的方程和边界条件,从而求出应力;再求应变和位移.

位移法思路和步骤

1. 取$u,v$为基本未知函数
2. 其他未知函数用$u,v$表示
3. 在$A$中导出$u,v$的基本方程-将弹性方程代入平衡微分方程,得出:

$$ \begin{array}{l} \frac{E}{{1 - {\mu ^2}}}(\frac{{{\partial ^2}u}}{{\partial {x^2}}} + \frac{{1 - \mu {\partial ^2}u}}{{2\partial {y^2}}} + \frac{{1 + \mu {\partial ^2}v}}{{2\partial x\partial y}}) + {f_x} = 0\\ \frac{E}{{1 - {\mu ^2}}}(\frac{{{\partial ^2}v}}{{\partial {y^2}}} + \frac{{(1 - \mu ){\partial ^2}v}}{{2\partial {x^2}}} + \frac{{(1 + \mu ){\partial ^2}u}}{{2\partial x\partial y}}) + {f_y} = 0 \end{array} $$

1. 在$S$上的边界条件: 1. 位移边界条件,用位移边界条件表示 2. 应力边界条件用位移代入表示:

$$ \begin{array}{l} \frac{E}{{1 - {\mu ^2}}}{[l(\frac{{\partial u}}{{\partial x}} + \mu \frac{{\partial v}}{{\partial y}}) + m\frac{{1 - \mu }}{2}(\frac{{\partial u}}{{\partial y}} + \frac{{\partial v}}{{\partial x}})]_s} = \overline {{f_x}} \\ \frac{E}{{1 - {\mu ^2}}}{[m(\frac{{\partial v}}{{\partial y}} + \mu \frac{{\partial u}}{{\partial x}}) + l\frac{{1 - \mu }}{2}(\frac{{\partial v}}{{\partial x}} + \frac{{\partial u}}{{\partial y}})]_s} = \overline {{f_y}} \end{array} $$

优点:适应性广
缺点:求解较为复杂

应力法法思路和步骤和相容方程

应变: 利用物理方程,用应力表示
位移: 通过应变,用应力表示,需通过积分,不仅表达式较复杂,而且包含积分带来的未知项,因此位移边界条件用应力分量来表示时既复杂又难以求解
当边界条件全部为应力边界条件时用应力法求解!

• 建立$A$内求解应力的方程
  • 平衡微分方程两个
  • 补充方程-几何方程,物理方程中消去位移和应变,从几何方程中消去位移,得出相容方程

$$ \frac{{{\partial ^2}{\varepsilon _x}}}{{\partial {y^2}}} + \frac{{{\partial ^2}{\varepsilon _y}}}{{\partial {x^2}}} = \frac{{{\partial ^2}{\gamma _{xy}}}}{{\partial x\partial y}} $$

代入物理方程,消去应变,并应用平衡微分方程进行简化,得到应力表示的相容方程:

$$ {\nabla ^2}({\sigma _x}{\rm{ + }}{\sigma _y}) = - (1 + \mu )(\frac{{\partial {f_x}}}{{\partial x}} + \frac{{\partial {f_y}}}{{\partial y}}) $$

物理含义:

1. 变形协调条件时位移连续性的必然结果
2. 变形协调条件是与应变对应的位移存在且连续的必要条件.

条件:

• 1. $A$内的平衡微分方程
• 2. $A$内的相容方程
• 3. 边界$s=S_{\sigma}$
• 4. 对于多连体,还需满足位移的单值条件.

常体力情况下的简化

概念:体力是常量,分量不随坐标位置的变化而变化

(1)相容方程: $$ {\nabla ^2}({\sigma _x}{\rm{ + }}{\sigma _y}) = 0 $$ $(2)$平衡微分方程可表示为: $$ \begin{array}{l} \frac{{\partial {\sigma _x}}}{{\partial x}} + \frac{{\partial {\tau _{yx}}}}{{\partial y}} + {f_x} = 0\\ \frac{{\partial {\sigma _y}}}{{\partial y}} + \frac{{\partial {\tau _{xy}}}}{{\partial x}} + {f_y} = 0 \end{array} $$ $(3)$应力边界条件($s={s_{\sigma}},{s_u}=0$) $$ \begin{array}{l} {(l{\sigma _x} + m{\tau _{yx}})_s} = \overline {{f_x}} \\ {(m{\sigma _y} + l{\tau _{xy}})_s} = \overline {{f_y}} \end{array} $$

在1-3条件下求解的${\sigma _x},{\sigma _y},{\tau _{xy}}$不包含弹性常数,=其大小与弹性常数无关.

结论

• 不同材料的应力${\sigma _x},{\sigma _y},{\tau _{xy}}$的理论解相同,用实验方法求应力时,也可以用不同的材料来代替.
• 两类平面问题的应力解${\sigma _x},{\sigma _y},{\tau _{xy}}$相同,实验是可用平面应力的模型代替平面应变的模型.
对应得齐次微分方程的通解.艾里求出: $$ {\sigma _x} = \frac{{{\partial ^2}\Phi }}{{\partial {y^2}}},{\sigma _y} = \frac{{{\partial ^2}\Phi }}{{\partial {x^2}}},{\tau _{xy}} = - \frac{{{\partial ^2}\Phi }}{{\partial x\partial y}} $$

归纳

在常体力下求解平面问题,可转变为按应力函数$\Phi$求解,$\Phi$必须满足:

$A$内相容方程(h)

$s={s_{\sigma}}$上的应力边界条件

多连体中的位移单值条件